Question

（1）证明：函数f（x）=x³-x²+ln（x+1）在（-1，+∞）上是单调增函数；
（2）证明：ln

2010

2009

＞

2008

20093

．

Answer 1

分析：（1）先确定函数的定义域然后求导数f′（x），在（-1，+∞）上恒有f′（x）＞0，故得证；
（2）由（1）的单调性得到f(

1

2009

)＞f(0)=0，故f(

1

2009

)=-

2008

20093

+ln

2010

2009

＞0，得证．

解答：证明：（1）对于函数f（x）=x³-x²+ln（x+1），
f′(x)=3x2-2x+

1

x+1

=

3x3+(x-1)2

x+1

．---------------------（2分）
当x∈[0，+∞）时，f′（x）＞0；-----------------------（4分）
当x∈（-1，0）时，f′(x)=3x2-2x+

1

x+1

＞0．-----------------------（6分）
故当x∈（-1，+∞）时，总有f′（x）＞0．-----------------------（7分）
所以函数f（x）=x³-x²+ln（x+1）在区间（-1，+∞）上是单调增函数．-----------------------（8分）
（2）由（1）知，f(

1

2009

)＞f(0)，-----------------------（10分）
而f（0）=0．-----------------------（11分）
f(

1

2009

)=

1

20093

-

1

20092

+ln(

1

2009

+1)=-

2008

20093

+ln

2010

2009

．-----------------------（14分）
于是-

2008

20093

+ln

2010

2009

＞0，即ln

2010

2009

＞

2008

20093

．-----------------------（16分）

点评：本题主要考查了导数，利用导数判断函数的单调性的步骤是：
（1）确定 f（x）的定义域；
（2）求导数f′（x）；
（3）在函数 的定义域内解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0；
（4）确定函数的单调区间．若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．