Question

椭圆C的方程

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，斜率为1的直L与椭C交于A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）两点．
（Ⅰ）若椭圆的离心率e=

3

2

，直线l过点M（b，0），且

OA

•

OB

=-

12

5

，求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线l过椭圆的右焦点F，设向量

OP

=λ（

OA

+

OB

）（λ＞0），若点P在椭C上，λ的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由e=

3

2

，知a=2b，c=

3

b．由

y=x-b x2+4y2=4b2

，知A(

8b

5

，

3b

5

)，B（0，-b）．再由

OA

•

OB

=-

12

5

能推导出椭圆C的方程．
（Ⅱ）由

y=x-c b2x2+a2y2=a2b2

，得（b²+a²）x²-2a²cx+a²（c²-b²）=0，由韦达定理知

OA

+

OB

=(

2a2c

a2+b2

，

-2b2c

a2+b2

)，

OP

=(

2λa2c

a2+b2

，

-2λb2c

a2+b2

 )．再由点P在椭圆C上，知λ2=

a2+b2

4c2

=

2a2-c2

4c2

=

1

2e2

-

1

4

＞

1

4

，由此能导出λ的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵e=

3

2

，∴a=2b，c=

3

b．

y=x-b x2+4y2=4b2

，
∴A(

8b

5

，

3b

5

)，B（0，-b）．
∵

OA

•

OB

=-

12

5

，∴-

3b2

5

=-

12

5

，b²=4，a²=16．
∴椭圆C的方程为

x2

16

+

y2

4

=1．（5分）
（Ⅱ）由

y=x-c b2x2+a2y2=a2b2

，
得（b²+a²）x²-2a²cx+a²（c²-b²）=0，
x1+x2 =

2a2c

a2+b2

，y1+y2=

-2b2c

a2+b2

．

OA

+

OB

=(

2a2c

a2+b2

，

-2b2c

a2+b2

)，

OP

=(

2λa2c

a2+b2

，

-2λb2c

a2+b2

 )．
∵点P在椭圆C上，将点P坐标代入椭圆方程中得λ2=

a2+b2

4c2

．
∵b²+c²=a²，0＜e＜1，
∴λ2=

a2+b2

4c2

=

2a2-c2

4c2

=

1

2e2

-

1

4

＞

1

4

，
∴λ＞

1

2

．（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法和求实数λ的取值范围．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．