Question

已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足

f(x)

g(x)

=ax，且f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

．若有穷数列{

f(n)

g(n)

}的前n项和为S_n，则满足不等式S_n＞2015的最小正整数n等于（　　）

• A、7
• B、8
• C、9
• D、10

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：计算题,函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：首先由已知条件结合导数大于0判断出a^x为实数集上的增函数，由此得到a＞1，再由

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

求出a的值，然后利用等比数列的前n项和公式求解n的值．

解答： 解：由(

f(x)

g(x)

)′=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

g2(x)

，
而f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），所以（

f(x)

g(x)

）′＞0，
即函数

f(x)

g(x)

=ax为实数集上的增函数，则a＞1．
又

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，解得a=2．
则数列{

f(n)

g(n)

}为数列{2ⁿ}，
此数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，
由前n项和S_n=

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-2，
由S_n＞2015，得2ⁿ⁺¹-2＞2015，
由于2¹⁰=1024，2¹¹=2048，
解得最小正整数n=10．
故选D．

点评：本题考查了函数的单调性与导数间的关系，考查了导数的运算法则，训练了利用等比数列的前n项和公式求值，是中档题．