Question

在锐角△ABC中，角B所对的边长b=10，△ABC的面积为10，外接圆半径R=13，则△ABC的周长为________．

Answer 1

分析：根据正弦定理，由b和外接圆半径R的值即可求出sinB的值，然后由B为锐角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，根据三角形的面积公式表示出△ABC的面积，让面积等于10化简后，得到a与c的关系式，记作①，利用余弦定理表示出cosB，把①代入也得到关于a与c的关系式，记作②，①②联立利用完全平方公式化简后即可求出a+c的值，进而求出三角形BAC的周长．
解答：由正弦定理得：=2R，又b=10，R=13，
解得sinB=，由△ABC为锐角三角形，得到cosB=，
∵△ABC的面积为10，∴acsinB=10，解得ac=52①，
则cosB===，化简得：a²+c²=196②，
联立①②得：（a+c）²=a²+c²+2ac=104+196=300，
解得a+c=10，
则△ABC的周长为10+10．
故答案为10+10．
点评：此题考查学生灵活应用正弦、余弦定理化简求值，掌握完全平方公式的灵活运用，灵活运用三角形的面积公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．