Question

过抛物线y²=4x的焦点，作直线与此抛物线相交于两点P和Q，那么线段PQ中点的轨迹方程是（ ）
A．y²=2x-1
B．y²=2x-2
C．y²=-2x+1
D．y²=-2x+2

Answer 1

【答案】分析：设线段PQ所在的直线方程为 y-0=k（x-1），代入抛物线方程，利用一元二次方程、根与系数的关系求出线段PQ中点坐标
消去参数 k，即得线段PQ中点的轨迹方程．
解答：解：抛物线y²=4x的焦点F（1，0），当线段PQ的斜率存在时，设线段PQ所在的直线方程为 y-0=k（x-1），
代入抛物线y²=4x得，k²x²-（2k²+4）x+k²=0，∴x₁+x₂=．
设线段PQ中点H（ x，y ），则由中点公式得 x=，∴y=k（x-1）=，k=，
∴y²=2x-2．当线段PQ的斜率存在时，线段PQ中点为焦点F（1，0），满足此式，
故线段PQ中点的轨迹方程是 y²=2x-2，
故选B．
点评：本题考查求点的轨迹方程的方法，一元二次方程根与系数的关系，中点公式的应用，利用一元二次方程、根与系数的关系，中点公式求出线段PQ中点坐标是解题的关键．