Question

13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且$\sqrt{3}c=a•sinC-\sqrt{3}c•cosA$
（1）求A；
（2）若$a=2\sqrt{3}$，△ABC的面积$S=\sqrt{3}$．求b，c．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知等式可得$\sqrt{3}$sinC=sinAsinC-$\sqrt{3}$sinCcosA，结合sinC≠0，化简可得sin（A-$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合范围0＜A＜π，即可求A的值．
（2）由三角形面积公式可得：$\frac{1}{2}bcsin\frac{2π}{3}$=$\sqrt{3}$，解得bc=4，由余弦定理可得b+c=4，即可求得b，c的值．

解答 解：（1）由条件$\sqrt{3}c=a•sinC-\sqrt{3}c•cosA$，可得$\sqrt{3}$sinC=sinAsinC-$\sqrt{3}$sinCcosA，
∵sinC≠0，
∴$\sqrt{3}$=sinA-$\sqrt{3}$cosA，即sinAcos$\frac{π}{3}$-cosAsin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，sin（A-$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0＜A＜π，∴$-\frac{π}{3}＜A-\frac{π}{3}＜\frac{2π}{3}$，∴A-$\frac{π}{3}=\frac{π}{3}$，∴A=$\frac{2π}{3}$…6分
（2）由三角形面积公式可得：$\frac{1}{2}bcsin\frac{2π}{3}$=$\sqrt{3}$，解得bc=4．
由余弦定理可得：a²=b${\;}^{2}+{c}^{2}-2bccos\frac{2π}{3}$=b²+c²+bc=（b+c）²-bc=（b+c）²-4=12．
故解得：b+c=4，则b=c=2…12分

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，考查了三角函数恒等变换的应用，熟练掌握相关公式定理是解题的关键，属于中档题．