Question

【题目】设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R.

(1)若f(x)在x＝3处取得极值，求常数a的值；

(2)若f(x)在(－∞，0)上为增函数，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1） ；（2） .

【解析】

（1），由在处取得扱值，可得 ,解得即可；（2）因为函数在上为增函数，令得到函数的极值点,讨论的取值范围，分别利用导数研究函数的增减性，可得到函数为增函数时的范围.

(1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－a)(x－1)．

因为f(x)在x＝3处取得极值，

所以f′(3)＝6(3－a)(3－1)＝0，解得a＝3.

经检验知，当a＝3时，x＝3为f(x)的极值点．

(2)令f′(x)＝6(x－a)(x－1)＝0，解得x1＝a，x2＝1.

当a＜1时，若x∈(－∞，a)∪(1，＋∞)，

则f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，a)和(1，＋∞)上为增函数，

故当0≤a＜1时，f(x)在(－∞，0)上为增函数；

当a≥1时，若x∈(－∞，1)∪(a，＋∞)，

则f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，1)和(a，＋∞)上为增函数，

所以f(x)在(－∞，0)上为增函数．

综上所述，当a∈[0，＋∞)时，f(x)在(－∞，0)上为增函数．