Question

【题目】设函数f（x）=x3﹣ x2+6x+m．
（1）对于x∈R，f′（x）≥a恒成立，求a的最大值；
（2）若方程f（x）=0有且仅有一个实根，求m的取值范围；
（3）当m=2时，若函数g（x）= + x﹣6+2blnx（b≠0）在[1，2]上单调递减，求实数b的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=3x2﹣9x+6，

x∈R，f′（x）≥a恒成立，即3x2﹣9x+（6﹣a）≥0恒成立，

∴△=81﹣12（6﹣a）≤0，解得：a≤﹣ ，

∴a的最大值是﹣

（2）解：由f′（x）=3（x﹣1）（x﹣2），

令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜1，令f′（x）＜0，解得：1＜x＜2，

∴f（x）极大值=f（1）= +m，f（x）极小值=f（2）=2+m，

故f（2）＞0或f（1）＜0时，方程f（x）=0仅有1个实数根，

∴m的范围是（﹣∞，﹣ ）∪（﹣2，+∞）

（3）解：∵g（x）= + x﹣6+2blnx（b≠0），

∴g′（x）=2x﹣ + ，

函数g（x）在[1，2]上单调递减，则g′（x）≤0在[1，2]恒成立，

从而b≤ ﹣x2在[1，2]恒成立，令h（x）= ﹣x2，h′（x）=﹣ ﹣2x＜0，

∴h（x）在[1，2]递减，h（x）min=h（2）=﹣ ，

故b的最大值是﹣ ．

【解析】（1）求出f（x）的导数，得到3x2﹣9x+（6﹣a）≥0恒成立，根据判别式△≤0，求出a的范围即可；（2）求出f（x）的极大值和极小值，从而求出m的范围即可；（3）求出g（x）的导数，问题转化为b≤ ﹣x2在[1，2]恒成立，求出 ﹣x2在[1，2]上的最小值即可．
【考点精析】本题主要考查了基本求导法则和利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导；一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．