Question

设一家公司开业后每年的利润为a_n万元，前n年的总利润为S_n万元，现知第一年的利润为2万元，且点（S_n，S_n+1）在函数f（x）=2x+n+1（n∈N^*）图象上．
（1）求证：数列{a_n+1}（n＞1）是等比数列；
（2）若b₁=1，（n≥2），求数列{b_n}的前n项和T_n（n∈N^*）．

Answer 1

解：（1）由题意有：S_n+1=2S_n+n+1，
所以S_n=2S_n-1+n（n≥2），
两式相减得 a_n+1=2a_n+1（n≥2），（3分）
所以 （n≥2），（5分）
所以数列{a_n+1}（n≥2）是公比为2的等比数列．（6分）
（2）因为S₂=2S₁+2=6，
所以 a₂=S₂-S₁=6-2=4，
所以=5×2^n-2，（n≥2），
∴，（9分）
因为，
所以（n≥2），（11分）
．（13分）
分析：（1）由题意有：S_n+1=2S_n+n+1，所以S_n=2S_n-1+n（n≥2），两式相减得 a_n+1=2a_n+1（n≥2），由此能够证明数列{a_n+1}（n≥2）是等比数列．
（2）因为S₂=2S₁+2=6，所以 a₂=S₂-S₁=6-2=4，故，因为，所以（n≥2），由此能求出数列{b_n}的前n项和T_n（n∈N^*）．
点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意裂项求和法的合理运用．