Question

（2012•怀化二模）设一家公司开业后每年的利润为a_n万元，前n年的总利润为S_n万元，现知第一年的利润为2万元，且点（S_n，S_n+1）在函数f（x）=2x+n+1（n∈N^*）图象上．
（1）求证：数列{a_n+1}（n＞1）是等比数列；
（2）若b₁=1，bn=

1

log2( 1 5 a2n+ 1 5 )log2( 1 5 a2n+2+ 1 5 )

（n≥2），求数列{b_n}的前n项和T_n（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）由题意有：S_n+1=2S_n+n+1，所以S_n=2S_n-1+n（n≥2），两式相减得 a_n+1=2a_n+1（n≥2），由此能够证明数列{a_n+1}（n≥2）是等比数列．
（2）因为S₂=2S₁+2=6，所以 a₂=S₂-S₁=6-2=4，故an=

2，n=1 5×2n-2，n≥2

，因为

1

5

a2n+

1

5

=22n-2，所以bn=

1

log222n-2log222n

=

1

4(n-1)n

=

1

4

(

1

n-1

-

1

n

)（n≥2），由此能求出数列{b_n}的前n项和T_n（n∈N^*）．

解答：解：（1）由题意有：S_n+1=2S_n+n+1，
所以S_n=2S_n-1+n（n≥2），
两式相减得 a_n+1=2a_n+1（n≥2），（3分）
所以 

an+1+1

an+1

=

2an+1+1

an+1

=

2(an+1)

an+1

=2（n≥2），（5分）
所以数列{a_n+1}（n≥2）是公比为2的等比数列．（6分）
（2）因为S₂=2S₁+2=6，
所以 a₂=S₂-S₁=6-2=4，
所以an+1=(a2+1)•2n-2=5×2^n-2，（n≥2），
∴an=

2，n=1 5×2n-2，n≥2

，（9分）
因为

1

5

a2n+

1

5

=22n-2，
所以bn=

1

log222n-2log222n

=

1

4(n-1)n

=

1

4

(

1

n-1

-

1

n

)（n≥2），（11分）
Tn=b1+b2+b3+…+bn=1+

1

4

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…

1

n-1

-

1

n

)=

5

4

-

1

4n

．（13分）

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意裂项求和法的合理运用．