Question

（本小题满分12分）如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且分别是的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）设，求三棱锥的体积.

 

Answer 1

（1）详见解析，（2）详见解析，（3）

【解析】

试题分析：（1）证明线面平行，关键在于找出线线平行.显然DE与三角形ABC三条边都不平行，因此需作辅助线.因为D,E都是中点，所以取中点，连接，可证得四边形是平行四边形.因而有，再根据线面平行判定定理就可证得.（2）要证明平面，需证明及，前面在平面中证明，利用勾股定理，即通过计算设，则.∴，∴.后者通过线面垂直与线线垂直的转化得，即由面面，得面，再得.（3）求三棱锥的体积关键在于求高.由（2）得平面，所以三棱锥的高为的一半，因此三棱锥的体积为.

试题解析：（1）取中点，连接，

∵，∴.

∴四边形是平行四边形.

∴，又∵，

∴平面. 4分

（2）∵是等腰直角三角形斜边的中点，∴.

又∵三棱柱是直三棱柱，∴面面.

∴面，∴.

设，则.

∴. ∴.

又，∴平面. 8分

（3）∵点是线段的中点，∴点到平面的距离是点到平面距离的.

而，∴三棱锥的高为；在中，，所以三棱锥的底面面积为，故三棱锥的体积为. 12分

考点：线面垂直判定定理，线面平行判定定理，三棱锥体积