Question

如图：中心为原点的双曲线的一条渐近线为y=x，焦点A、B在x轴上，焦距|AB|为．
（1）求此双曲线方程；
（2）过P（2，0）的直线L交双曲线于点M、N，．求证：对于任意直线L，数量积是定值，并求出该定值．
（3）在（2）的条件下，求|QM|²+|QN|²-|MN|²的值．

Answer 1

解：（1）∵渐进线为y=±x，∴是等轴双曲线x²-y²=a²，离心率e=．
又2c=2，∴c²=2a²，a=1，方程为x²-y²=1．
（2）设MN的方程为x=my+2，代入x²-y²=1，得（m²-1）y²+4my+3=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则y₁+y₂=-，y₁y₂=．

=（m²+1）y₁y₂+m（2-b）（y₁+y₂）+4-4b+b²为定值，可得（b²-1）m²-（b²-4b+1）=C（定值）…（*）
∴（b²-1-C）m²-（b²-4b+1-C）=0而与m的取值无关，
∴b²-1-C=b²-4b+1-C=0，∴C=-，b=．
（3）|QM|²+|QN|²-|MN|²=（x₁-1）²+（y₁）²+（x₂-1）²+（y₂）²-（x₁-x₂）²-（y₁-y₂）²=2m（y₁+y₂）=，
由（2）知 C=-，b=，代入（*）式，得m²=2，
∴|QM|²+|QN|²-|MN|²==-16．
分析：（1）由渐进线为y=±x，知双曲线是等轴双曲线x²-y²=a²，离心率e=．由此能求出其方程．
（2）设MN的方程为x=my+2，代入x²-y²=1，得（m²-1）y²+4my+3=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则y₁+y₂=-，y₁y₂=．
=（m²+1）y₁y₂+m（2-b）（y₁+y₂）+4-4b+b²为定值，由此得到证明．
（3）|QM|²+|QN|²-|MN|²=（x₁-1）²+（y₁）²+（x₂-1）²+（y₂）²-（x₁-x₂）²-（y₁-y₂）²=2m（y₁+y₂）=，由此能求出|QM|²+|QN|²-|MN|²的值．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．