Question

8．若函数f（x）=$\frac{2}{3}a{x}^{3}-a{x}^{2}+2x+10$是R上的增函数，则实数a的取值范围的是[0，4]．

Answer 1

分析 先求出函数的导数，根据导数的意义结合二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：a=0时：f（x）=2x+10，在R上是增函数，
a≠0时：
∵函数f（x）=$\frac{2}{3}a{x}^{3}-a{x}^{2}+2x+10$是R上的增函数，
∴f′（x）=2ax²-2ax+2≥0在R上恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={4a}^{2}-16a≤0}\end{array}\right.$，解得：0＜a≤4，
故答案为：[0，4]．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．