Question

18．已知函数f（x）=-4x²+4ax-4a-a²，（a≠0）．
（1）若a=-1，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）在区间[0，1]上的最大值为0，存在x∈[2，3]，使得m（x²+2x）＜f（x）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）a=-1时，得出f（x）=-4x²-4x+3，根据二次函数单调区间的求法便可得出该函数的单调递增区间；
（2）先求出f（x）的对称轴为x=$\frac{a}{2}$，讨论对称轴和区间[0，1]的关系：$\frac{a}{2}＜0$时，可以得到f（x）在区间[0，1]的最大值为f（0）=-4a-a²=0，从而求出a=-4，从而由m（x²+2x）＜f（x）及x∈[2，3]可得到$m＜\frac{-4x-16}{x+2}=-4-\frac{8}{x+2}$，从而得到$m＜-4-\frac{8}{3+2}=-\frac{28}{5}$，而对于$0＜\frac{a}{2}＜1$和$\frac{a}{2}≥1$的情况容易判断出不存在，这样写出m的取值范围即可．

解答 解：（1）a=-1时，f（x）=-4x²-4x+3；
f（x）的对称轴为x=$-\frac{1}{2}$；
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，-$\frac{1}{2}$]；
（2）f（x）的对称轴为$x=\frac{a}{2}$；
①若$\frac{a}{2}＜0$，a＜0，则f（x）在[0，1]上单调递减；
∴f（x）在区间[0，1]上的最大值为f（0）=-4a-a²=0；
∵a≠0；
∴a=-4；
∴f（x）=-4x²-16x；
∴x∈[2，3]时，不等式m（x²+2x）＜-4x²-16x有解；
∴m（x+2）＜-4x-16；
∴$m＜\frac{-4x-16}{x+2}=\frac{-4（x+2）-8}{x+2}=-4-\frac{8}{x+2}$；
即存在x∈[2，3]，使m$＜-4-\frac{8}{x+2}$；
∴$m＜-4-\frac{8}{3+2}$；
∴$m＜-\frac{28}{5}$；
②若$0＜\frac{a}{2}＜1$，即0＜a＜2，则：
f（x）的最大值为$f（\frac{a}{2}）=-4a$；
∵a≠0，且f（x）的最大值为0；
∴这种情况不存在；
③若$\frac{a}{2}≥1$，即a≥2，f（x）在[0，1]上单调递增；
∴f（x）在[0，1]上的最大值为f（1）=-4-a²=0；
a²=-4显然不成立；
∴实数m的取值范围为$（-∞，-\frac{28}{5}）$．

点评 考查二次函数单调区间的求法，二次函数的对称轴，以及根据二次函数的单调性及取得顶点情况求最大值，以及反比例函数的单调性．