Question

给出下列四个命题：
①已知a，b，m都是正数，且

a+m

b+m

＞

a

b

，则a＜b；
②已知a、b、c成等比数列，a、x、b成等差数列，b、y、c也成等差数列，则

a

x

+

c

y

的值等于2；
③函数y=tanx的图象关于点（kπ，0），（k∈Z）对称；
④关于x的不等式|x+1|+|x-3|≥m的解集为R，则m≤4；
其中为真命题的序号是

①②③④

．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是，判断命题真假，比较综合的考查了三角函数、数列和不等式的一些性质．
命题①根据a，b，m都是正数这一特点，两边同乘b（b+m）；
命题②根据等比和等差中项的概念，得出各字母间的关系，然后同分代值即可；
命题③只需把点的坐标代入函数解析式验证；
命题④若分段求解较为繁杂，可利用绝对值的几何意义求出不等式左侧的范围．

解答：解：①∵a，b，m都是正数，则由

a+m

b+m

＞

a

b

⇒b（a+m）＞a（b+m），∴ab+bm＞ab+am，即bm＞am，则a＜b，故命题①正确．
②由a、b、c成等比数列，a、x、b成等差数列，b、y、c也成等差数列，得b²=ac，2x=a+b，2y=b+c，后两式相乘得4xy=ab+b²+ab+bc=ab+2ac+bc，
所以

a

x

+

c

y

=

ay+cx

xy

=

a b+c 2 +c a+b 2

xy

=

ab+2ac+bc 2

xy

=

ab+2ac+bc

2xy

=

4xy

2xy

=2，所以命题②正确．
③∵y=tankπ=0，函数y=tanx的图象关于点（kπ，0），（k∈Z）对称，所以命题③正确．
④令y=|x+1|+|x-3|，根据绝对值的几何意义，|x+1|+|x-3|可看作数轴上的动点X到两实数-1和2所对应两定点的距离，所以y_min=4，
那么要使不等式|x+1|+|x-3|≥m的解集为R，则m≤4，所以命题④正确．
故答案为①②③④．

点评：对于命题②的计算，通分后的分子采用了整体代换，使运算过程得到了简化；
命题④中运用了绝对值的几何意义，含绝对值不等式的求解，有时考虑到绝对值的几何意义，可使解题过程大大简化．