Question

工厂生产某种零件，每天需要固定成本100元，每生产1件，还需再投入资金2元，若每天生产的零件能全部售出，每件的销售收入P（x）（元）与当天生产的件数之间有以下关系：P(x)=

83- 1 3 x2，0＜x≤10 520 x - 1331 x3 ，x＞10

设当天利润为y元．
（1）写出y关于x的函数关系式；
（2）要使当天利润最大，当天应生产多少零件？（注：利润等于销售收入减去总成本）

Answer 1

分析：（1）利用利润与件数的关系建立二者之间的函数关系式是解决本题的关键；注意利润等于销售收入减去总成本，只需得出总收入和总成本即可．
（2）依据函数类型选择恰当的求最值的方法，充分利用导数工具，求出每一段的最值，比较得出该函数的最大值．最后写出答案．

解答：解：（1）当0＜x≤10时，y=x（83-

1

3

x²）-100-2x=-

1

3

x³+81x-100；当x＞10时，y=x（

520

x

-

1331

x3

）-2x-100=-2x-

1331

x2

+420．
∴y=

- 1 3 x3+81x-100，0＜x≤10，x∈N -2x- 1331 x2 +420，x＞10，x∈N

．
（2）设函数y=h（x）=

- 1 3 x3+81x-100，0＜x≤10，x∈N -2x- 1331 x2 +420，x＞10，x∈N

．
①当0＜x≤10时，y'=81-x²，令y'=0，得出x=9．当x∈（0，9）时，y'＞0；当x∈（9，10）时，y'＜0；故x=9时，y_max=386．
②当x＞10时，y'=

-2×1331

x3

-2，令y'=0，得出x=11，当x∈（10，11）时，y'＞0；当x∈（11，+∝）时，y'＜0；故x=11时，y_max=387．
结合①②知，当x=11时，y取最大值．
故要使当天利润最大，当天应生产11件零件．

点评：本题考查分段函数的知识，考查学生解决实际问题的能力，利用导数求最值的方法在本题中有所体现．注意实际问题的实际背景．