Question

【题目】已知函数（为自然对数的底数，）.

（1）求函数在点处的切线方程；

（2）若对于任意，存在，使得，求的取值范围；

（3）若恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）对函数求导，求得，，由直线的点斜式方程可求得切线；

（2）对函数求导，得出函数在上单调性，可求得函数在上的最值，再根据对于任意，存在，使得，则需，

讨论a可求得a的范围；

(3) )因为，所以由得令，则，分析导函数的正负，得出原函数的单调性，从而得出最值，根据不等式恒成立的思想得出求得a的范围.

（1），，，又，

所以切线方程为：，即；

（2），时，，在上单调递增，，

由于对于任意，存在，使得，则需，

当时，，不满足，故，

当时，在上单调递增，，所以，解得；

当时，在上单调递减，所以在上没有最大值，所以不满足，

综上可得，;

(3)因为，所以由得令，则，

令则在上单调递减，且，所以存在唯一的零点，使得，

即有也即有，，即，

所以，，所以在上单调递增，在上递减，所以，

而，所以，

所以.

所以的取值范围是.