Question

19．已知二次函数f（x）=ax²-4bx+2．
（Ⅰ）任取a∈{1，2，3}，b∈{-1，1，2，3，4}，记“f（x）在区间[1，+∞）上是增函数”为事件A，求A发生的概率；
（Ⅱ）任取（a，b）∈{（a，b）|a+4b-6≤0，a＞0，b＞0}，记“关于x的方程f（x）=0有一个大于1的根和一个小于1的根”为事件B，求B发生的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）因为a有3种取法，b有5种取法，则对应的函数有3×5=15个，函数f（x）的图象关于直线x=$\frac{2b}{a}$对称，若事件A发生，则a＞0且$\frac{2b}{a}$≤1，由此利用列举法能求出A发生的概率．
（Ⅱ）集合{（a，b）|a+4b-6≤0，a＞0，b＞0}对应的平面区域为Rt△AOB，由此利用几何概型能求出B 发生的概率．

解答 解：（Ⅰ）因为a有3种取法，b有5种取法，则对应的函数有3×5=15个．（2分）
因为函数f（x）的图象关于直线x=$\frac{2b}{a}$对称，若事件A发生，则a＞0且$\frac{2b}{a}$≤1．（3分）
数对（a，b）的取值为（1，-1），（2，-1），（2，1），（3，-1），（3，1）共5种．（5分）
所以P（A）=$\frac{5}{15}$=$\frac{1}{3}$．（6分）
（Ⅱ）集合{（a，b）|a+4b-6≤0，a＞0，b＞0}对应的平面区域为Rt△AOB，
如图．其中点A（6，0），B（0，$\frac{3}{2}$），
则△AOB的面积为$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×6=$\frac{9}{2}$．（8分）
若事件B发生，则f（1）＜0，即a-4b+2＜0．（9分）
所以事件B对应的平面区域为△BCD．
由$\left\{\begin{array}{l}a+4b-6=0\\ a-4b+2=0\end{array}$，得交点坐标为D（2，1）．
又C（0，$\frac{1}{2}$），则△BCD的面积为$\frac{1}{2}$×（$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$）×2=1．
所以P（B）=$\frac{S△BCD}{S△AOB}$=$\frac{2}{9}$．（12分）

点评 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法和几何概型的合理运用．