Question

27、设△ABC的三条边为a，b，c，求证ab+bc+ca≤a²+b²+c²＜2（ab+bc+ca）．

Answer 1

分析：由基本不等式可证 a²+b²+c²≥ab+bc+ca，根据a² -ab-ac=a（a-b-c）＜0，可得 a²＜ab+ac，同理可得
 b² -＜ba+bc，c² ＜ca+cb，相加可得  a²+b²+c²＜2（ab+bc+ca），从而证得命题．

解答：证明：∵a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，a² +c²≥2ac，相加可得 2（a²+b²+c²）≥2ab+2bc+2ac，
∴a²+b²+c²≥ab+bc+ca．
又因为△ABC的三条边为a，b，c，∴a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b．
∴a² -ab-ac=a（a-b-c）＜0，a²＜ab+ac，同理可得，b² -＜ba+bc，c² ＜ca+cb，
相加可得  a²+b²+c²＜2（ab+bc+ca）．
综上可得  ab+bc+ca≤a²+b²+c²＜2（ab+bc+ca）成立．

点评：本题考查用综合法证明不等式，基本不等式的应用，以及三角形任意两边之和大于第三边，证明a²＜ab+ac，是解题
的关键．