Question

（2013•杨浦区一模）椭圆T的中心为坐标原点O，右焦点为F（2，0），且椭圆T过点E（2，

2

）．△ABC的三个顶点都在椭圆T上，设三条边的中点分别为M，N，P．
（1）求椭圆T的方程；
（2）设△ABC的三条边所在直线的斜率分别为k₁，k₂，k₃，且k_i≠0，i=1，2，3．若直线OM，ON，OP的斜率之和为0，求证：

1

k1

+

1

k2

+

1

k3

为定值．

Answer 1

分析：（1）设出椭圆的标准方程，利用椭圆的定义，即可确定椭圆的标准方程；
（2）利用点差法，确定三条边所在直线的斜率，结合直线OM，ON，OP的斜率之和为0，即可得到结论．

解答：解：（1）设椭圆T的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由题意知：左焦点为F′（-2，0），所以2a=|EF|+|EF′|=

2

+3

2

，
解得a=2

2

，
∵c=2，∴b=

a2-c2

=2．
故椭圆T的方程为

x2

8

+

y2

4

=1…（4分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），M（s₁，t₁），N（s₂，t₂），P（s₃，t₃），
由：x12+2y12=8，x22+2y22=8，两式相减，得到
（x₁-x₂）（x₁+x₂）+2（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0
所以k1=

y1-y2

x1-x2

=-

1

2

•

x1+x2

y1+y2

=-

s1

2t1

，即

1

k1

=-

2t1

s1

，…（9分）
同理

1

k2

=-

2t2

s2

，

1

k3

=-

2t3

s3

所以

1

k1

+

1

k2

+

1

k3

=-2(

t1

s1

+

t2

s2

+

t3

s3

)，
又因为直线OM，ON，OP的斜率之和为0，
所以

1

k1

+

1

k2

+

1

k3

=0 …（13分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．