Question

已知点A（4，2），F为抛物线y²=8x的焦点，点M在抛物线上移动，当|MA|+|MF|取最小值时，M点的坐标为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先由抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线方程，把x=4带入抛物线方程判断A点在抛物线内部，设M在抛物线准线方程上射影为M′，根据抛物线的定义可知|MA|+|MF|=|MA|+|M′M|，分析M′，M，A三点共线时，|MA|+|M′M|的值最小，求得其最小值，进而求得|MA|+|MF|取最小值．

解答： 解：由抛物线方程可知，2p=8，
∴抛物线的焦点F（2，0），准线方程为x=-2，
设M在抛物线准线方程上射影为M′，
∵点M到准线的距离与M到焦点距离相等，
∴|MA|+|MF|=|MA|+|M′M|，
当x=4，带入抛物线方程求得y=±4

2

，
∴AD点抛物线的内部，
当M′，M，A三点共线时，|MA|+|M′M|的值最小，此时|MA|+|M′M|=|AM|=6
此时M的纵坐标为2，x=

4

8

=

1

2

，即M的坐标为（

1

2

，2）
故答案为：（

1

2

，2）．

点评：本题主要考查了抛物线的基本性质．解题的关键是利用抛物线的定义．