Question

已知在(

x

-

3

x

)n的展开式中，第4项为常数项
（1）求n的值；    
（2）求展开式中含x³项系数．

Answer 1

分析：（1）由二项式定理可得(

x

-

3

x

)n的展开式的通项，进而可得其展开式的第4项，令第4项的系数为0可得

n-9

2

=0，解可得答案；
（2）由（1）求出的(

x

-

3

x

)n的展开式的通项，令x的系数为3，可得r的值，将r的值代入通项，计算可得答案．

解答：解：（1）根据题意，(

x

-

3

x

)n的展开式的通项为T_r+1=C_n^r（

x

）ⁿ（-

3

x

）^r=（-3）^r•C_n^rx

n-3r

2

，
其第4项为T₄=（-3）³C_n³x

n-9

2

，
若其第4项为常数项，必有

n-9

2

=0，解可得n=9；
（2）由（1）可得，(

x

-

3

x

)n的展开式的通项为T_r+1=（-3）^r•C₉^rx

9-3r

2

，
令

9-3r

2

=3，解可得r=1，
此时有T₂=（-3）¹C₉¹x³=-27x³，
即展开式中含x³项系数为-27．

点评：本题考查二项式定理的应用，关键要正确运用二项式公式，注意系数与二项式系数的区别．