Question

已知：曲线C上任意一点到点的距离与到直线x=-1的距离相等．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点作直线交曲线C于M，N两点，若|MN|长为，求直线MN的方程；
（3）设O为坐标原点，如果直线y=k（x-1）交曲线C于A、B两点，是否存在实数k，使得？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据曲线C上任意一点到点的距离与到直线x=-1的距离相等，可知曲线为抛物线，焦点在x轴上，且p=2，从而可得曲线C的方程；
（2）当直线MN的斜率不存在时，不合题意；当直线MN的斜率存在时，设MN：y=k（x-1），代入y²=4x，利用|MN|长为，建立方程，即可求得直线MN的方程；
（3）将y=k（x-1），代入y²=4x，得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，验证x₁x₂+y₁y₂=-3≠0，故不存在满足条件的k．
解答：解：（1）∵曲线C上任意一点到点的距离与到直线x=-1的距离相等
∴曲线为抛物线，焦点在x轴上，且p=2
∴曲线C的方程为y²=4x…（4分）
（2）当直线MN的斜率不存在时，不合题意．…（5分）
当直线MN的斜率存在时，设MN：y=k（x-1），代入y²=4x，得k²x²-2（k²+2）x+k²=0…（7分）
记M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），∴x₁x₂=1，，
∵|MN|长为，
∴，
解得…（10分）
∴直线MN：…（11分）
（3）将y=k（x-1），代入y²=4x，得k²x²-2（k²+2）x+k²=0
记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴x₁x₂=1，，…（13分）∴…（15分）
∴x₁x₂+y₁y₂=-3≠0，
∴，∴不存在满足条件的k．…（18分）
点评：本题考查抛物线的定义，考查曲线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，解题的关键是直线与抛物线联立，利用韦达定理进行解题．