Question

若对于定义在R上的函数f（x），其函数图象是连续不断，且存在常数λ（λ∈R），使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意的实数x成立，则称f（x）是λ-伴随函数．有下列关于λ-伴随函数的结论：
①f（x）=0是常数函数中唯一一个λ-伴随函数；
②f（x）=x²是一个λ-伴随函数；
③

1

2

-伴随函数至少有一个零点．
其中不正确的结论的序号是

 

．（写出所有不正确结论的序号）

Answer 1

分析：根据已知中f（x）是λ-伴随函数的定义，我们易得f（x）=c≠0是-1-伴随函数，由此可以判断①的真假；根据f（x）是λ-伴随函数的定义，构造关于λ的方程，解方程求出λ的值，即可判断②的真假；若f（x）是

1

2

-伴随函数．则f（x+

1

2

）+

1

2

f（x）=0，根据零点存在定理，可以判断③的真假．进而得到答案．

解答：解：①不正确，原因如下．
若f（x）=c≠0，则取λ=-1，则f（x-1）-f（x）=c-c=0，既f（x）=c≠0是-1-伴随函数
②不正确，原因如下．
若 f（x）=x²是一个λ-伴随函数，则（x+λ）²+λx²=0．推出λ=0，λ=-1，矛盾
③正确．若f（x）是

1

2

-伴随函数．
则f（x+

1

2

）+

1

2

f（x）=0，
取x=0，则f（

1

2

）+

1

2

f（0）=0，若f（0），f（

1

2

）任一个为0，函数f（x）有零点．
若f（0），f（

1

2

）均不为零，则f（0），f（

1

2

）异号，由零点存在定理，在（0，

1

2

）区间存在x₀，f（x₀）=0．
即

1

2

-伴随函数至少有一个零点．
故答案为：①②．

点评：本题考查的知识点是函数的概念及构成要素，函数的零点，正确理解f（x）是λ-伴随函数的定义，是解答本题的关键．