Question

在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．
（1）证明：CD⊥AE；
（2）证明：PD⊥平面ABE；
（3）求二面角B-PC-D的余弦值．

Answer 1

证明：（1）PA⊥底面ABCD，
∴CD⊥PA．
又CD⊥AC，PA∩AC=A，
∴CD⊥面PAC，AE?面PAC，
∴CD⊥AE．
（2）PA=AB=BC，∠ABC=60°，
∴PA=AC，E是PC的中点，
∴AE⊥PC，
由（1）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，
∴AE⊥PD．易知BA⊥PD，
∴PD⊥面ABE．
（3）由题可知PA，AB，AD两两垂直，如图建立空间直角坐标系，
设AB=2，则B（2，0，0），C（1，

3

，0），P（0，0，2），D（0，

4

3

，0）
设平面PBC的一个法向量为

m

=（x，y，z），

PB

=（2，0，-2），

BC

=（-1，

3

，0）

PB • m =0 BC • m =0

，即

2x-2z=0 -x+ 3 y=0

，
取y=

3

，则x=z=3
即

m

=（3，

3

，3）
设面PDC的一个法向量为

n

=(x，y，z)，

PC

=(1，

3

，-2)，

PD

=(0，

4

3

，-2)

PC • n =0 PD • n =0

，即

x+ 3 y-2z=0 4 3 y-2z=0

取y=

3

，则x=1，z=2，
即

n

=(1，

3

，2)
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

3+3+6

21 8

=

42

7

由图可知钝二面角B-PC-D的余弦值为-

42

7

．（12分）