Question

（理）设a＞0，a≠1为常数，函数f(x)=loga

x-5

x+5

（1）讨论函数f（x）在区间（-∞，-5）内的单调性，并给予证明；
（2）设g（x）=1+log_a（x-3），如果方程f（x）=g（x）有实数解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将对数的真数当成一个函数，可以用定义证明它在区间（-∞，-5）内的单调性，再讨论底数a与1的大小关系得到相应的情况下真数的大小关系，即可得函数f（x）在区间（-∞，-5）内的单调性；
（2）化函数g（x）=1+log_a（x-3））为g（x）=log_aa（x-3），方程f（x）=g（x）即为它们的真数都大于零且相等，采用变量分离的方法，转化为求函数F（x）=

x-5

(x+5)(x-3)

在区间（5，+∞）上的值域，实数a的取值范围就应该属于这个值域．

解答：解：（1）设t=

x-5

x+5

，任取x₂＜x₁＜-5，则
t₂-t₁=

x2-5

x2+5

-

x1-5

x1+5

=

(x1+5)(x2-5)-(x2+5)(x1-5)

(x2+5)(x1+5)

=

10( x2-x1)

(x2+5)(x1+5)

．
∵x₁＜-5，x₂＜-5，x₂＜x₁，
∴x₁+5＜0，x₂+5＜0，x₂-x₁＜0．
∴

10(x2-x1)

(x2+5)(x1+5)

＜0，即t₂＜t₁．
当a＞1时，y=log_ax是增函数，∴log_at₂＜log_at₁，即f（x₂）＜f（x₁）；
当0＜a＜1时，y=log_ax是减函数，∴log_at₂＞log_at₁，即f（x₂）＞f（x₁）．
综上可知，当a＞1时，f（x）在区间（-∞，-5）为增函数；
当0＜a＜1时，f（x）在区间（-∞，-5）为减函数．
（2）g（x）=1+log_a（x-3）=log_aa（x-3），
方程f（x）=g（x）等价于：

a(x-3)= x-5 x+5 x＞3 x＜-5或x＞5

即方程a=

x-5

(x+5)(x-3)

在区间（5，+∞）上有解，
∵[

x-5

(x+5)(x-3)

] /=

-x2+10x-5

(x+5) 2(x-3)  2

=

-[x-(5-2 5 )][x-(5+2 5 )]

(x+5)(x-3)

∴函数F（x）=

x-5

(x+5)(x-3)

在区间（5，5+2

5

）上导数大于零，在区间（5+2

5

，+∞）导数小于零
可得F（x）=

x-5

(x+5)(x-3)

在区间（5，5+2

5

）上单调增，在区间（5+2

5

，+∞）单调减
∴F（x）的最大值为F（5+2

5

）=

3- 5

16

，而F（x）的最小值大于F（5）=0
要使方程方程a=

x-5

(x+5)(x-3)

在区间（5，+∞）上有解，必须a∈（0，

3- 5

16

]
所以a的取值范围是：（0，

3- 5

16

]

点评：本题着重考查了函数单调性的判断与证明、根的存在性及根的个数判断等知识点，在解题时应该注意分类讨论与数形结合等数学思想的应用．