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(理)设a>0,a≠1为常数,函数f(x)=loga
x-5
x+5

(1)讨论函数f(x)在区间(-∞,-5)内的单调性,并给予证明;
(2)设g(x)=1+loga(x-3),如果方程f(x)=g(x)有实数解,求实数a的取值范围.
(1)设t=
x-5
x+5
,任取x2<x1<-5,则
t2-t1=
x2-5
x2+5
-
x1-5
x1+5

=
(x1+5)(x2-5)-(x2+5)(x1-5)
(x2+5)(x1+5)

=
10( x2-x1)  
(x2+5)(x1+5)

∵x1<-5,x2<-5,x2<x1
∴x1+5<0,x2+5<0,x2-x1<0.
10(x2-x1
(x2+5)(x1+5)
<0,即t2<t1
当a>1时,y=logax是增函数,∴logat2<logat1,即f(x2)<f(x1);
当0<a<1时,y=logax是减函数,∴logat2>logat1,即f(x2)>f(x1).
综上可知,当a>1时,f(x)在区间(-∞,-5)为增函数;
当0<a<1时,f(x)在区间(-∞,-5)为减函数.
(2)g(x)=1+loga(x-3)=logaa(x-3),
方程f(x)=g(x)等价于:
a(x-3)=
x-5
x+5
x>3
x<-5或x>5

即方程a=
x-5
(x+5)(x-3)
在区间(5,+∞)上有解,
[
x-5
(x+5)(x-3)
] /=
-x2+10x-5
(x+5) 2(x-3)  2
=
-[x-(5-2
5
)][x-(5+2
5
)] 
(x+5)(x-3) 

∴函数F(x)=
x-5
(x+5)(x-3)
在区间(5,5+2
5
)上导数大于零,在区间(5+2
5
,+∞)导数小于零
可得F(x)=
x-5
(x+5)(x-3)
在区间(5,5+2
5
)上单调增,在区间(5+2
5
,+∞)单调减
∴F(x)的最大值为F(5+2
5
)=
3-
5
16
,而F(x)的最小值大于F(5)=0
要使方程方程a=
x-5
(x+5)(x-3)
在区间(5,+∞)上有解,必须a∈(0,
3-
5
16
]
所以a的取值范围是:(0,
3-
5
16
]
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a
=(cosα,(λ-1)sinα),
b
=(cosβ,sinβ),(λ>0,0<α<β<
π
2
)
是平面上的两个向量,若向量
a
+
b
a
-
b
相互垂直,
(1)求实数λ的值;
(2)若
a
b
=
4
5
,且tanα=
4
3
,求α的值(结果用反三角函数值表示)

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