Question

已知f（x）=x³-3ax-1（a≠0）在x=-1处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）求g（x）=

1

3

x³+g′（1）•（1+f′（x））在区间[-1，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）因为f（x）在x=-3是取极值，则求出f′（x）得到f′（-3）=0解出求出a即可．
（2）先求出g′（1）=-

1

5

，g′（x）=x²-

6

5

x=x（x-

6

5

）再利用导数工具求最值即可．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-3a，在x=-1处取得极值，则f′（-1）=0．解得a=1
所以f（x）=x³-3x-1，f′（x）=3x²-3，
（2）g（x）=

1

3

x³+g′（1）•（3x²-2），g′（x）=x²+g′（1）•6x，
令x=1得，g′（1）=1+g′（1）•6，解得g′（1）=-

1

5

所以g′（x）=x²-

6

5

x=x（x-

6

5

）
当-1＜x＜0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
所以g（x）最大值为g（0）=

2

5

，
由于g（-1）=-

8

15

＜g（1）=

2

15

所以g（x）最小值为g（-1）=-

8

15

点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，解题的关键是利用导数工具，确定函数的最值，属于中档题．