Question

已知，函数，其中．

（Ⅰ）当时，求的最小值；

（Ⅱ）在函数的图像上取点 ，记线段P_nP_n+1的斜率为k_n ，．对任意正整数n，试证明：

（ⅰ）；

Answer 1

（Ⅰ）0;（Ⅱ）详见解析．

【解析】

试题分析：（Ⅱ）利用两点的连线的斜率公式得出kn，再利用（Ⅰ）的结论对Sn放缩即可得出结论．

（Ⅰ）当时，，利用导数求函数的最小值；（Ⅱ）依题意，（ⅰ）由（Ⅰ）可知，若取，则当时，即

于是，即知，所以化简即可得到结果．

（ⅱ）取，，求导可得，所以当时，，故在单调递减，所以，当时，，即

由于对任意正整数，，于是利用不等式放缩可得，即知 ，即可得到结论．

试题解析：（Ⅰ）当时，，求导可得

所以在单调递增，故的最小值是       5分

（Ⅱ）依题意，       6分

（ⅰ）由（1）可知，若取，则当时，即

于是，即知

所以       9分

（ⅱ）取，，求导可得

当时，，故在单调递减，

所以，当时，，即       12分

注意到，对任意正整数，，于是

，即知

所以        14分．