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已知数列{an},Sn是其n前项的和,且满足3an=2Sn+n(n∈N*
(1)求证:数列{an+
1
2
}为等比数列;
(2)记Tn=S1+S2+L+Sn,求Tn的表达式;
(3)记Cn=
2
3
(an+
1
2
),求数列{nCn}的前n项和Pn
分析:(1)由3an=2Sn+n知,当n≥2时,3an-1=2Sn-1+n-1,作差后可知an=3an-1+1,于是易证数列{an+
1
2
}是首项为
3
2
,公比为3的为等比数列;
(2)由(1)知an=
1
2
×3n-
1
2
,利用分组求和法即可求得Tn的表达式;
(3)由(2)易知Cn=3n-1,利用错位相减法即可求得数列{nCn}的前n项和Pn
解答:解:(1)∵3an=2Sn+n,
∴a1=1,
当n≥2时,3(an-an-1)=2an+1,即an=3an-1+1,
∴an+
1
2
=3an-1+1+
1
2
=3(an-1+
1
2
),
∴数列{an+
1
2
}是首项为
3
2
,公比为3的为等比数列;
(2)由(1)知,an+
1
2
=
3
2
•3n-1
∴an=
1
2
×3n-
1
2

∴Sn=a1+a2+…+an
=
1
2
3(1-3n)
1-3
-
n
2

=
3
4
•3n-
1
4
(2n+3),
∴Tn=S1+S2+…+Sn
=
3
4
(3+32+…+3n)-
1
4
×
(5+2n+3)n
2

=
3
4
3(1-3n)
1-3
-
n(n+4)
4

=
9
8
(3n-1)-
n(n+4)
4

(3)∵Cn=
2
3
(an+
1
2
)=
2
3
×
1
2
×3n=3n-1
∴Pn=1×30+2×3+3×32+…+n•3n-1
∴3Pn=1×3+2×32+…+(n-1)•3n-1+n•3n
两式相减得:
-2Pn=1+3+32+…+3n-1-n•3n
=
1-3n
1-3
-n•3n
=
1-2n
2
×3n-
1
2

∴Pn=
1+(2n-1)•3n
4
点评:本题考查数列的求和,着重考查等比关系的确定,突出考查等比数列的求和公式与错位相减法、分组求和法的综合应用,属于难题.
练习册系列答案
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已知数列{an}的首项a1=
3
5
an+1=
3an
2an+1
,n=1,2,…

(1)求证:数列{
1
an
-1}
为等比数列;
(2)记Sn=
1
a1
+
1
a2
+…
1
an
,若Sn<100,求最大的正整数n.
(3)是否存在互不相等的正整数m,s,n,使m,s,n成等差数列且am-1,as-1,an-1成等比数列,如果存在,请给出证明;如果不存在,请说明理由.

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已知数列{an}是以d为公差的等差数列,数列{bn}是以q为公比的等比数列.
(1)若数列{bn}的前n项的和为Sn,且a1=b1=d=2,S3<a1003+5b2,求整数q的值;
(2)在(1)的条件下,试问数列{bn}中是否存在一项bk,使得bk恰好可以表示为该数列中连续p(p∈N,p≥2)项的和?请说明理由;
(3)若b1=a1,b2=as≠arb3=at,(其中t>s>r,且(s-r)是(t-r)的约数),求证:数列{bn}中每一项都是数列{an}中的项.

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已知数列{an}的通项公式为an=n•2n,为了求数列{an}的和,现已给出该问题的算法程序框图.
(Ⅰ)请在图中执行框①②处填上适当的表达式,使该算法完整;
(Ⅱ)求n=4时,输出S的值;
(Ⅲ)根据所给循环结构形式的程序框图,写出程序语言.

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科目:高中数学 来源:2014届福建省高二下学期期中考试理科数学试卷(解析版) 题型:解答题

已知数列{an}满足S n + a n= 2n +1.

(1)写出a1a2a3, 并推测a n的表达式;

(2)用数学归纳法证明所得的结论.

 

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科目:高中数学 来源: 题型:

(08年唐山市一中调研一理) 已知数列{an}满足S n=,则=                                   (    )

A.1                      B.-1                       C.2                     D.-2

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