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已知数列{an}的首项a1=
3
5
an+1=
3an
2an+1
,n=1,2,…

(1)求证:数列{
1
an
-1}
为等比数列;
(2)记Sn=
1
a1
+
1
a2
+…
1
an
,若Sn<100,求最大的正整数n.
(3)是否存在互不相等的正整数m,s,n,使m,s,n成等差数列且am-1,as-1,an-1成等比数列,如果存在,请给出证明;如果不存在,请说明理由.
分析:(1)根据an+1和an关系式进行化简,
(2)先由(1)得出数列{
1
an
}的通项公式,然后根据分组方法求出Sn,解不等式Sn<100即可;
(3)假设存在正整数m,s,n,根据等比数列性质得出(am-1)•(an-1)=(as-1)2并化简,再根据a+b≥2
ab
,确定是否存在.
解答:解:(1)∵
1
an+1
=
2
3
+
1
3an
,∴
1
an+1
-1=
1
3an
-
1
3
,(2分)
1
a1
-1≠0
,∴
1
an
-1≠0(n∈N*)
,(3分)
1
an
-1=
2
3
×(
1
3
)n-1

∴数列{
1
an
-1}
为等比数列.(4分)
(2)由(1)可求得
1
an
-1=
2
3
×(
1
3
)n-1
,∴
1
an
=2×(
1
3
)n+1
.(5分)Sn=
1
a1
+
1
a2
++
1
an
=n+2(
1
3
+
1
32
++
1
3n
)
=n+2•
1
3
-
1
3n+1
1-
1
3
=n+1-
1
3n
,(7分)
若Sn<100,则n+1-
1
3n
<100
,∴nmax=99.(9分)
(3)假设存在,则m+n=2s,(am-1)•(an-1)=(as-1)2,(10分)
an=
3n
3n+2
,∴(
3n
3n+2
-1)•(
3m
3m+2
-1)=(
3s
3s+2
-1)2
.(12分)
化简得:3m+3n=2•3s,(13分)
3m+3n≥2•
3m+n
=2•3s
,当且仅当m=n时等号成立.(15分)
又m,n,s互不相等,∴不存在.(16分)
点评:本题考查了等比数列的性质、前n项和的求法以及不等式的解法,综合性很强,本题要注意a+b≥2
ab
运用,本题有一定难度.
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已知数列{an}的首项a1=
1
2
,前n项和Sn=n2an(n≥1).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设b1=0,bn=
Sn-1
Sn
(n≥2)
,Tn为数列{bn}的前n项和,求证:Tn
n2
n+1

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已知数列{an}的首项为a1=2,前n项和为Sn,且对任意的n∈N*,当n≥2,时,an总是3Sn-4与2-
52
Sn-1
的等差中项.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=(n+1)an,Tn是数列{bn}的前n项和,n∈N*,求Tn

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1,n是正奇数
-2,n是正偶数
1,n是正奇数
-2,n是正偶数

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(1)求证:数列{
1Sn
}
是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)求数列{an}中的最大项.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}的首项a1=
2
3
an+1=
2an
an+1
,n∈N+
(Ⅰ)设bn=
1
an
-1
证明:数列{bn}是等比数列;
(Ⅱ)数列{
n
bn
}的前n项和Sn

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