Question

已知数列{a_n}的首项为a₁=2，前n项和为S_n，且对任意的n∈N^*，当n≥2，时，a_n总是3S_n-4与2-

5

2

Sn-1的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=（n+1）a_n，T_n是数列{b_n}的前n项和，n∈N^*，求T_n．

Answer 1

分析：（1）根据a_n是3S_n-4与2-

5

2

Sn-1的等差中项，找到a_n，S_n的关系式，再根据n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可求出数列{a_n}的通项公式．
（2）先把（1）中求出的数列{a_n}的通项公式，代入b_n=（n+1）a_n，求出数列{b_n}的通项公式，再利用错位相减法求出数列{b_n}的前n项和．

解答：解：（1）∵2an=(3Sn-4)+(2-

5

2

Sn-1)(n≥2)
∴2an=3Sn-

5

2

Sn-1-2，(n≥2)∴2an=

5

2

an+

1

2

Sn-2，(n≥2)
∴a_n+S_n-4=0，（n≥2）∴当n≥3时，a_n-1+S_n-1-4=0
∴a_n-a_n-1+a_n=0即2a_n=a_n-1，（n≥3）
又a₂+S₂-4=0∴a₂=1．∴

a2

a1

=

1

2

&∴ an an-1 = 1 2 (n≥2)

∴an=2•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-2
（2）∵bn=(n+1)•(

1

2

)n-2∴Tn=2x(

1

2

)-1+3x(

1

2

)0+4×(

1

2

)+4×(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n-3+(n+1)•(

1

2

)n-2…①

1

2

Tn=2×(

1

2

)0+3×(

1

2

)+4×(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n-2+(n+1)•(

1

2

)n-1…②
①-②得：

1

2

Tn=2×(

1

2

)-1+(

1

2

)0+(

1

2

)+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-2-(n+1)(

1

2

)n-1=4+

1-( 1 2 )n-1

1- 1 2

-(n+1)•(

1

2

)n-1=6-(n+3)×(

1

2

)n-1∴Tn=12-(n+3)×(

1

2

)n-2．

点评：本题主要考查了数列通项与前n项和的关系，以及错位相减求和．