Question

（2013•江门一模）已知数列{a_n}的首项a₁=1，若?n∈N^*，a_n•a_n+1=-2，则a_n=

1，n是正奇数 -2，n是正偶数

．

Answer 1

分析：由给出的递推式，取n=n+1得另一个式子，两式作比后可得：

an+2

an

=1 （n∈N^*），由此可得数列的所有奇数项构成常数列，所有偶数项构成常数列，则数列的通项公式可求．

解答：解：数列{a_n}中，由a_n•a_n+1=-2①，得：a_n+1•a_n+2=-2②，
②÷①得：

an+2

an

=1 （n∈N^*），
∴数列{a_n}的奇数项和偶数项分别构成以1为公比的等比数列，
由a₁=1，且a_n•a_n+1=2，得：a2=

-2

a1

=-2．
∴数列{a_n}的通项公式为an=

1  (n为正奇数) -2(n为正偶数)

．
故答案为

1  (n为正奇数) -2(n为正偶数)

．

点评：本题考查了数列的递推式，考查了由递推式求数列的通项公式，由数列的递推式求通项公式时，替换n的取值，由已知递推式得另一递推式，然后两式联立是求解该类问题常用的方法，此题是中档题．