Question

已知数列{a_n}的首项为a₁=3，通项a_n与前n项和s_n之间满足2a_n=S_n•S_n-1（n≥2）．
（1）求证：数列{

1

Sn

}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求数列{a_n}中的最大项．

Answer 1

分析：（1）把2a_n=S_n•S_n-1（n≥2）中的a_n化为S_n-S_n-1，然后两边同除以S_n•S_n-1．结合等差数列定义可证；
（2）由（1）可求得S_n，根据an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

即可求得{a_n}的通项公式；
（3）根据n≥3时a_n的单调性及前三项即可求得最大项；

解答：解（1）由2a_n=S_n•S_n-1（n≥2），得2（S_n-S_n-1）=S_n•S_n-1．
所以

1

Sn

-

1

Sn-1

=-

1

2

（n≥2），
所以{

1

Sn

}是等差数列；
（2）由（1）知，

1

Sn

=

1

3

+(n-1)(-

1

2

)，
所以Sn=

6

5-3n

，
当n=1时，a₁=3，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

18

(3n-5)(3n-8)

，
∴an=

3，n=1 18 (3n-5)(3n-8) ，n≥2

；
（3）由a₁，a₂，a₃及n≥3时a_n的单调性知：a3=

9

2

是最大项；

点评：本题考查利用数列递推公式求数列通项、等差数列的定义及其判断等知识，属中档题．