Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=

an 2 +n-1，n为奇数 an-2n     ，n为偶数

，记b_n=a_2n（n∈N*），S_n为数列{b_n}的前n项和．
（Ⅰ）证明数列{b_n}为等比数列，并求其通项公式；
（Ⅱ）若对任意n∈N*且n≥2，不等式λ≥1+s_n-1恒成立，求实数λ的取值范围；
（Ⅲ）令c_n=

(n+1)( 5 11 )n

bn

，证明：c_n≤

1010

119

（n∈N*）．

Answer 1

分析：本题考查的是数列与不等式的综合类问题．在解答时：
（Ⅰ）首先由b_n=a_2n可推得：bn+1 =

1

2

bn从而获得数列{b_n}是首项和公比都为

1

2

的等比数列，进而用等比数列的通项公式即可获得问题的解答；
（Ⅱ）利用第一问的结论再结合等比数列的前n项和公式可得：1+Sn-1=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

（n≥2）．又因为：对任意n∈N*且n≥2，不等式λ≥1+S_n-1恒成立，
则λ大于等于1+S_n-1的最大值，故λ的取值范围是即可解答；
（Ⅲ）首先利用第一问的结论对C_n进行化简，然后利用作差法即可获得数列在不同范围上的单调性，进而求得数列{c_n}的最大值．

解答：解：（Ⅰ）因为b_n=a_2n，由已知可得，
bn+1=a2(n+1)=a(2n+1)+1=

a2n+1

2

+(2n+1)-1
=

a2n+1

2

+2n=

a2n-4n

2

+2n=

1

2

a2n=

1

2

bn．
又a₁=1，则b1=a2=

1

2

a1=

1

2

．
所以数列b_n是首项和公比都为

1

2

的等比数列，
故bn=

1

2

•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n．
∴数列{b_n}为等比数列，并求其通项公式为：bn=(

1

2

)n，n∈N*．
（Ⅱ）因为1+Sn-1=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=2-

1

2n-1

＜2（n≥2）．
若对任意n∈N*且n≥2，不等式λ≥1+S_n-1恒成立，
则λ≥2，故λ的取值范围是[2，+∞）．
（Ⅲ）因为cn=

(n+1)( 5 11 )n

bn

=(n+1)(

10

11

)n，则
cn+1-cn=(n+2)(

10

11

)n+1-(n+1)(

10

11

)n=(

10

11

)n[(n+2)

10

11

-(n+1)]=(

10

11

)n •

9-n

11

．
当n＜9时，c_n+1-c_n＞0，即c_n＜c_n+1；
当n=9时，c_n+1-c_n=0，即c_n=c_n+1；
当n＞9时，c_n+1-c_n＜0，即c_n＞c_n+1．
所以数列c_n的最大项是c₉或c₁₀，
且c9=c10=

1010

119

，故cn≤

1010

119

．

点评：本题考查的是数列与不等式的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了计算转化的能力、恒成立问题的解答能力以及定义法证明函数单调性的知识．同时作差法、放缩法在题目当中也得到了充分的体现．值得同学们体会反思．