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    已知函数f(x)＝和g(x)＝x－1－ln(x＋1)

    (Ⅰ)函数y＝f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数还是减函数？说明理由；

    (Ⅱ)求证：函数y＝g(x)在区间(2，3)上有唯一零点；

    (Ⅲ)当x＞0时，不等式xf(x)＞k(x)恒成立，其中(x)是g(x)导函数，求正整数k的最大值．

    答案：
    解析：

    　　解：(Ⅰ)函数f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数．

    　　由于　　2分

    　　

    　　所以故函数f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数　　4分

    　　(Ⅱ)因为

    　　所以g(x)在(2，3)上是增函数　　6分

    　　又g(2)＝1－ln3＜0，g(3)＝2－ln4＝2(1－ln2)＞0

    　　所以，函数y＝g(x)在区间(2，3)上有唯一零点　　8分

    　　(Ⅲ)当x＞0时，不等式xf(x)＞k(x)恒成立

    　　即对于x＞0恒成立

    　　设，则　　9分

    　　由(Ⅱ)知g(x)＝x－1－ln(x＋1)在区间(0，＋∞)上是增函数，

    　　且g(x)＝0存在唯一实数根a，满足a∈(2，3)，即a＝1＋ln(a＋1)　　10分

    　　由x＞a时，；0＜x＜a时，

    　　知h(x)(x＞0)的最小值为

    　　故正整数k的最大值为3　　12分


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    （2）求函数f(x)在区间［－1,1］上的最小值；

    （3）若函数y=f(x)图象上存在两点P，Q，使得对任意给定的正实数a都满足△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上，求点P的横坐标的取值范围。

     

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