(本小题满分12分)已知函数f(x)=x3+x2-2.
(1)设{an}是正数组成的数列,前n项和为Sn,其中a1=3.若点(an,an+12-2an+1)(n∈N*)在函数y=f′(x)的图象上,求证:点(n,Sn)也在y=f′(x)的图象上;
(2)求函数f(x)在区间(a-1,a)内的极值.
解析:
(1)证明:因为f(x)=x3+x2-2,
所以f′(x)=x2+2x,
由点(an,an+12-2an+1)(n∈N*)在函数y=f′(x)的图象上,得an+12-2an+1=an2+2an,即(an+1+an)(an+1-an-2)=0.
又an>0(n∈N*),所以an+1-an=2.
又因为a1=3,
所以数列{an}是以3为首项,以2为公差的等差数列,
所以Sn=3n+×2=n2+2n.
又因为f′(n)=n2+2n,所以Sn=f′(n),
故点(n,Sn)也在函数y=f′(x)的图象上.
(2)f′(x)=x2+2x=x(x+2),
由f′(x)=0,得x=0或x=-2,
当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:
x |
(-∞,-2) |
-2 |
(-2,0) |
0 |
(0,+∞) |
f′(x) |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
f(x) |
? |
极大值 |
? |
极小值 |
? |
注意到|(a-1)-a|=1<2,从而
①当a-1<-2<a,即-2<a<-1时,f(x)的极大值为f(-2)=-,此时f(x)无极小值;
②当a-1<0<a,即0<a<1时,f(x)的极小值为f(0)=-2,此时f(x)无极大值;
③当a≤-2或-1≤a≤0或a≥1时,f(x)既无极大值又无极小值.
【解析】略
科目:高中数学 来源: 题型:
ON |
ON |
5 |
OM |
OT |
M1M |
N1N |
OP |
OA |
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科目:高中数学 来源: 题型:
(2009湖南卷文)(本小题满分12分)
为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类,这三类工程所含项目的个数分别占总数的、、.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.求:
(I)他们选择的项目所属类别互不相同的概率; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(II)至少有1人选择的项目属于民生工程的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
(本小题满分12分)
某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查和预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图1,B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2,
(注:利润与投资单位是万元)
(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数,并写出它们的函数关系式.(2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入到A,B两种产品的生产,问:怎样分配这10万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少万元.
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