精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

(本小题满分12分)已知函数f(x)=x3x2-2.

(1)设{an}是正数组成的数列,前n项和为Sn,其中a1=3.若点(anan+12-2an+1)(n∈N*)在函数yf′(x)的图象上,求证:点(nSn)也在yf′(x)的图象上;

(2)求函数f(x)在区间(a-1,a)内的极值.

 

 

【答案】

 

解析:

(1)证明:因为f(x)=x3x2-2,

所以f′(x)=x2+2x

由点(anan+12-2an+1)(n∈N*)在函数yf′(x)的图象上,得an+12-2an+1an2+2an,即(an+1an)(an+1an-2)=0.

an>0(n∈N*),所以an+1an=2.

又因为a1=3,

所以数列{an}是以3为首项,以2为公差的等差数列,

所以Sn=3n+×2=n2+2n.

又因为f′(n)=n2+2n,所以Snf′(n),

故点(nSn)也在函数yf′(x)的图象上.

(2)f′(x)=x2+2xx(x+2),

f′(x)=0,得x=0或x=-2,

x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:

x

(-∞,-2)

-2

(-2,0)

0

(0,+∞)

f′(x)

0

0

f(x)

?

极大值

?

极小值

?

注意到|(a-1)-a|=1<2,从而

①当a-1<-2<a,即-2<a<-1时,f(x)的极大值为f(-2)=-,此时f(x)无极小值;

②当a-1<0<a,即0<a<1时,f(x)的极小值为f(0)=-2,此时f(x)无极大值;

③当a≤-2或-1≤a≤0或a≥1时,f(x)既无极大值又无极小值.

 

【解析】略

 

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

(文) (本小题满分12分已知函数y=4-2
3
sinx•cosx-2sin2x(x∈R)

(1)求函数的值域和最小正周期;
(2)求函数的递减区间.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•自贡三模)(本小题满分12分>
设平面直角坐标中,O为原点,N为动点,|
ON
|=6,
ON
=
5
OM
.过点M作MM1丄y轴于M1,过N作NN1⊥x轴于点N1
OT
=
M1M
+
N1N
,记点T的轨迹为曲线C.
(I)求曲线C的方程:
(H)已知直线L与双曲线C:5x2-y2=36的右支相交于P、Q两点(其中点P在第-象限).线段OP交轨迹C于A,若
OP
=3
OA
,S△PAQ=-26tan∠PAQ求直线L的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(本小题满分12分)已知函数,且。①求的最大值及最小值;②求的在定义域上的单调区间.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2009湖南卷文)(本小题满分12分)

为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类,这三类工程所含项目的个数分别占总数的.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.求:

(I)他们选择的项目所属类别互不相同的概率;    w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

(II)至少有1人选择的项目属于民生工程的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(本小题满分12分)

某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查和预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图1,B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2,

(注:利润与投资单位是万元)

(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数,并写出它们的函数关系式.(2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入到A,B两种产品的生产,问:怎样分配这10万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少万元.

查看答案和解析>>

同步练习册答案