Question

抛物线y²=2px（p＞0）上的点T（3，t）到焦点F的距离为4．
（1）求

t

p

的值；
（2）设抛物线的准线与x轴的交点为M．问：是否存在过M的直线l交抛物线于A、B（B在A的右侧）两点，使得直线AF⊥OB？若存在，求出△AFB的面积．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由抛物线的定义，得4=3+

p

2

，即可得到抛物线方程和T的坐标；
（2）假设存在过M的直线l交抛物线于A、B（B在A的右侧）两点，使得直线AF⊥OB．
设直线AB：y=k（x+1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立抛物线方程，消去y，注意判别式大于0，运用韦达定理，由AF⊥OB得到

y1

x1-1

•

y2

x2

=-1．化简整理即可得到k，从而求出x₁，x₂，求得AF，BF，AB，求得△ABF的面积．

解答： 解：（1）由于抛物线y²=2px（p＞0）上的点T（3，t）
到焦点F的距离为4，由抛物线的定义，得4=3+

p

2

，p=2，
即有y²=4x，T（3，±2

3

），
则

t

p

=±

3

；
（2）假设存在过M的直线l交抛物线于A、B（B在A的右侧）两点，使得直线AF⊥OB．
M（-1.0），F（1，0），设直线AB：y=k（x+1），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立抛物线方程，消去y，
得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，△=（2k²-4）²-4k⁴＞0，即k²＜1．
则x₁+x₂=

4

k2

-2，x₁x₂=1．由AF⊥OB得到

y1

x1-1

•

y2

x2

=-1．
y₁y₂+x₁x₂-x₂=0，即k²（x₁+1）（x₂+1）+x₁x₂-x₂=0，即k²（x₁+x₂+x₁x₂+1）+1-x₂=0，
k²（2+

4

k2

-2）+1-x₂=0，则x₂=5，x₁=

1

5

，5+

1

5

=

4

k2

-2，k²=

5

9

＜1，则k=±

5

3

．
故存在这样的直线为y=±

5

3

（x+1）．
AF=

1

5

+1=

6

5

，BF=5+1=6，AB²=BF²-AF²=36-

36

25

=

36×24

25

，
故S_△ABF=

1

2

AF•AB=

1

2

×

6

5

×

12 6

5

=

36 6

25

．

点评：本题考查抛物线的方程、定义和性质，考查联立直线方程和抛物线方程，消去未知数，运用韦达定理求解，注意检验，是一道中档题．