Question

14．设函数f（x）=$\frac{1+{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$．
（1）求它的定义域；
（2）判断它的奇偶性；
（3）求证：f（$\frac{1}{x}$）=-f（x）；
（4）求证：f（x）在（1，+∞）上递增．

Answer 1

分析 （1）根据函数成立的条件即可求它的定义域；
（2）根据函数奇偶性的定义即可判断它的奇偶性；
（3）代入直接证明即可求证：f（$\frac{1}{x}$）=-f（x）；
（4）根据复合函数单调性的性质即可证明f（x）在（1，+∞）上递增．

解答 解：（1）由1-x²≠0得x²≠1，即x≠±1，
即函数的定义域为{x|x≠±1}；
（2）∵f（-x）=$\frac{1+（-x）^{2}}{1-（-x）^{2}}$=$\frac{1+{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$=f（x），
∴函数为偶函数；
（3）∵f（x）=$\frac{1+{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$．
∴f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{1+（\frac{1}{x}）^{2}}{1-（\frac{1}{x}）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+1}{{x}^{2}-1}$=-$\frac{1+{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$=-f（x）；
（4）∵f（x）=$\frac{1+{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$=$\frac{2-（1-{x}^{2}）}{1-{x}^{2}}$=$\frac{2}{1-{x}^{2}}$-1．
∴当x＞1时，y=1-x²为减函数，且y=1-x²＜0，
则函数y=$\frac{2}{1-{x}^{2}}$为增函数，即y=$\frac{2}{1-{x}^{2}}$-1为增函数．
即f（x）在（1，+∞）上递增．

点评 本题主要考查函数定义域，奇偶性，单调性的判断和证明，综合考查函数的性质．