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已知曲线y=x3-6x2+11x-6.在它对应于x∈[0,2]的弧段上求一点P,使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小,并求出这个最小值.
已知曲线方程是y=x3-6x2+11x-6,因此y'=3x2-12x+11
在曲线上任取一点P(x0,y0),则点P处切线的斜率是y'|x=x0=3x02-12x0+11
点P处切线方程是y=(3x02-12x0+11)(x-x0)+y0
设这切线与y轴的截距为r,则
r=(3x02-12x0+11)(-x0)+(x03-6x02+11x0-6)=-2x03+6x02-6
根据题意,要求r(它是以x0为自变量的函数)在区间[0,2]上的最小值
因为r'=-6x02+12x0=-6x0(x0-2)
当0<x0<2时r'>0,因此r是增函数,
故r在区间[0,2]的左端点x0=0处取到最小值,即在点P(0,-6)处切线在y轴上的截距最小
这个最小值是r最小值=-6
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