Question

已知曲线y=x³-6x²+11x-6．在它对应于x∈[0，2]的弧段上求一点P，使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小，并求出这个最小值．

Answer 1

【答案】分析：求出曲线方程的导函数，在曲线上取一点设P（x，y），把x代入到导函数中求出切线方程的斜率，根据P点坐标和斜率写出切线的方程，令x等于0表示出切线在y轴上的截距r，求出r′，判断r′大于0得到r为增函数，得到r在x=0处取到最小值，把x=0代入r求出最小值即可．
解答：解：已知曲线方程是y=x³-6x²+11x-6，因此y'=3x²-12x+11
在曲线上任取一点P（x，y），则点P处切线的斜率是y'|_x=x0=3x²-12x+11
点P处切线方程是y=（3x²-12x+11）（x-x）+y
设这切线与y轴的截距为r，则
r=（3x²-12x+11）（-x）+（x³-6x²+11x-6）=-2x³+6x²-6
根据题意，要求r（它是以x为自变量的函数）在区间[0，2]上的最小值
因为r'=-6x²+12x=-6x（x-2）
当0＜x＜2时r'＞0，因此r是增函数，
故r在区间[0，2]的左端点x=0处取到最小值，即在点P（0，-6）处切线在y轴上的截距最小
这个最小值是r_最小值=-6
点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线的斜率，会利用导数求闭区间上函数的最小值，是一道中档题．