Question

已知｛a_n｝是等比数列，a₁=2，a₃=18；｛b_n｝是等差数列，b₁=2，b₁+b₂+b₃+b₄=a₁+a₂+a₃＞20．

　　(1)求数列｛b_n｝的通项公式；

　　(2)求数列｛b_n｝的前n项和S_n的公式；

　　(3)设P_n=b₁+b₄+b₇+…+b_3n-2，Q_n=b₁₀+b₁₂+b₁₄+…+b_2n+8，其中n=1，2，…，试比较P_n与Q_n的大小，并证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

(1)设｛an｝的公比为q，由a3=a1q2得 　　，q=±3 　　当q=-3时，a1+a2+a3=2-6+18=14＜20，这与a1+a2+a3＞20矛盾，故舍去； 　　当q=3时，a1+a2+a3=2+6+18=26＞20，故符合题意． 　　设数列｛bn｝的公差为d，由b1+b2+b3+b4=26得 　　 　　又b1=2，解得d=3 　　所以bn=3n-1 　　(2)Sn=． 　　(3)b1，b4，b7，…，b3n-2组成以3d为公差的等差数列，所以 　　b10，b12，b14，…，b2n+8，组成以2d为公差的等差数列，b10=29 　　所以Qn=nb10+ 　　Pn-Qn=()-(3n2+26n)=n(n-19) 　　所以，对于正整数n，当n≥20时，Pn＞Qn； 　　当n=19时，Pn=Qn； 　　当n≤18时，Pn＜Qn