Question

已知函数的图象上一点P(1，0)，且在P点处的切线与直线平行．

(1)求函数的解析式；

(2)求函数在区间[0，t](0<t<3)上的最大值和最小值；

(3)在(1)的结论下，关于x的方程在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围

Answer 1

　(1)因为f′(x)＝3x²＋2ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为f′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，所以a＝－3.

又函数过(1,0)点，即－2＋b＝0，所以b＝2.

所以f(x)＝x³－3x²＋2.

(2)由f(x)＝x³－3x²＋2，f′(x)＝3x²－6x.

由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.

①当0<t≤2时，在区间(0，t)上f′(x)<0，f(x)在[0，t]上是减函数，

所以f(x)_max＝f(0)＝2，f(x)_min＝f(t)＝t³－3t²＋2.-

②当2<t<3时，当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况见下表：

x	0	(0,2)	2	(2，t)	t
f′(x)	0	－	0	＋	＋
f(x)	2		－2		t3－3t2＋2