Question

给出下列四个命题：
①命题p：?x∈R，sinx≤1，则￢p：?x∈R，sinx＜1；
②当x＞1时，有1nx+

1

lnx

≥2；
③函数f(x)=

lnx-x2+2x，(x＞0) 2x+1，(x≤0)

的零点个数有3个；
④设有五个函数y=x-1，y=x

1

2

，y=x3，y=x2，y=2|x|，其中既是偶函数又在（0，+∞）上是增函数的有2个．
其中真命题的个数是（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：①原命题是特称命题，其否定为全称命题，将“存在”改为“任意的”，“＞“改为“≤”即可得答案；
②利用均值不等式进行判断，注意取等号时的情况，从而进行判断；
③求分段函数的零点，x≤0时的情况比较好判断，只有一个，x＞0的情况，可以利用导数和零点定理进行判断；
④根据偶函数的性质f（-x）=f（x），和导数进行判断增减性；

解答：解：①命题p：?x∈R，sinx≤1，则￢p：?x∈R，sinx＞1，故①错误；
②∵当x＞1时，有1nx+

1

1nx

≥2

lnx× 1 lnx

=2，当lnx=

1

lnx

即x=e时等号成立，故②正确；
③当x≤0时，f（x）=2x+1=0，得x=-

1

2

，有一个交点；
当x＞0时，f（x）=lnx-x²+2x，求导f′（x）=

1

x

-2x+2=

1-2x2+2x

x

，因为y=-2x²+2x+1开口向下，△=4-4（-2）1=12，令f′（x）=0，解得x=

1+ 3

2

或x=

1- 3

2

，
若f′（x）＞0，可得0＜x＜

1+ 3

2

，f（x）为增函数，
若f′（x）＜0，可得x＞

1+ 3

2

，f（x）为减函数；
当x→0时，f（x）＜0，f（

1+ 3

2

）＞0，f（x）与x轴有两个交点；故③正确；
④有五个函数y=x-1，y=x

1

2

，y=x3，y=x2，y=2|x|，
根据f（-x）=f（x），
可知y=x²，y=2^|x|为偶函数，
且y=x²，y=2^|x|在（0，+∞）上为增函数，
故④正确；
故选C；

点评：此题考查否命题的定义均值不等式的应用以及偶函数的性质，考查的知识点比较多，是一道综合题；