Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x²+ax﹣3．
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．

Answer 1

解：（1）f'（x）=lnx+1，
当，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
当，f'（x）＞0，f（x）单调递增．
①，t无解；
②，即时，；
③，即时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，
f（x）_min=f（t）=tlnt；
∴．
（2）2xlnx≥﹣x²+ax﹣3，则，
设，
则，
x∈（0，1），h'（x）＜0，h（x）单调递减，
x∈（1，+∞），h'（x）＞0，h（x）单调递增，
所以h（x）_min=h（1）=4
因为对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，
所以a≤h（x）_min=4；
（3）问题等价于证明，
由（1）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是，
当且仅当时取到设，
则，易得，
当且仅当x=1时取到，从而对一切x∈（0，+∞），都有成立．