Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，长度为定值的线段EF在线段B₁D1上滑动，现有五个命题如下：
①AC⊥BE；
②EF∥平面A₁BD；
③直线AE与BF所成角为定值；
④直线AE与平面BD₁所成角为定值；
⑤三棱锥A-BEF的体积为定值．
其中正确命题序号为

 

．

Answer 1

分析：①如图1所示，连接BD，由正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中可得AC⊥BD，BB₁⊥AC，利用线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDD₁B₁，利用其性质即可得到AC⊥BE；
②如图图2所示，利用正方体的对角面的性质可得B₁D₁∥BD，再利用线面的判定定理即可得到EF∥平面A₁BD；
③如图3所示，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，|EF|=m，F（a，b，1），
则E(a+

2

2

m，b+

2

2

m，1)．又A（1，0，0），B（1，1，0）．∴

AE

=(a+

2

2

m-1，b+

2

2

m，1)，

BF

=（a-1，b-1，1），利用向量的夹角公式即可判断出；
④如图3所示，取对角面BD₁的法向量为

AC

=(-1，1，0)．
设AE与平面BD₁所成的角为θ，则sinθ=|cos＜

AE

，

n

＞|=

| AE • n |

| AE | | n |

即可判断出；
⑤由①可知：AC⊥平面BDD₁B₁，可得点A到平面BEF的距离=

1

2

|AC|，而△BEF的面积=

1

2

|EF| |BB1|，利用三棱锥的体积计算公式可得V_A-BEF=

1

3

×

1

2

|AC| •

1

2

|EF| |BB1|，又|AC|，|EF|，|BB₁|都为定值，因此三棱锥A-BEF的体积为定值．

解答：解：①正确．如图1所示，连接BD，由正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中可得AC⊥BD，BB₁⊥AC，BD∩BB₁=B，∴AC⊥平面BDD₁B₁，∴AC⊥BE；
②正确．如图图2所示，∵B₁D₁∥BD，B₁D₁?平面A₁BD，而BD?平面A₁BD，∴EF∥平面A₁BD；
③不正确．如图3所示，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，|EF|=m，F（a，b，1），
则E(a+

2

2

m，b+

2

2

m，1)．又A（1，0，0），B（1，1，0）．
∴

AE

=(a+

2

2

m-1，b+

2

2

m，1)，

BF

=（a-1，b-1，1），
∴cos＜

AE

，

BF

＞=

AE • BF

| AE | | BF |

=

(a+ 2 2 m-1)(a-1)+(b+ 2 2 m)(b-1)+1

(a+ 2 2 m-1)2+(b+ 2 2 m)2+1 (a-1)2+(b-1)2+1

，与a，b的取值有关系．
④如图3所示，取对角面BD₁的法向量为

AC

=(-1，1，0)．
设AE与平面BD₁所成的角为θ，则sinθ=|cos＜

AE

，

n

＞|=

| AE • n |

| AE | | n |

=

|1-a- 2 2 m+b+ 2 2 m|

(a+ 2 2 m-1)2+(b+ 2 2 m)2+1 • 2

与a，b的取值有关系；
⑤正确．由①可知：AC⊥平面BDD₁B₁，∴点A到平面BEF的距离=

1

2

|AC|，而△BEF的面积=

1

2

|EF| |BB1|，∴V_A-BEF=

1

3

×

1

2

|AC| •

1

2

|EF| |BB1|，又|AC|，|EF|，|BB₁|都为定值，因此三棱锥A-BEF的体积为定值．
综上可知：正确答案为①②⑤．
故答案为①②⑤．

点评：熟练掌握空间点线面的位置关系、空间角、空间距离等是解题的关键．