Question

甲、乙两地相距s千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米/时,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比,比例系数为b;固定部分为a元.

(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域;

(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?

Answer 1

解：(1)依题意,汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为,全程运输成本为y=a·+bv²·=s(+bv),

故所求函数及其定义域为y=s(+bv),v∈(0,c］.

(2)依题意,知s、a、b、v都为正数,

故有s(+bv)≥,当且仅当=bv,

即v=时,上式中等号成立.

若≤c,则当v=时,全程运输成本y最小;

若＞c,当v∈(0,c］时,有s(+bv)-s(+bc)=s·［a()+b(v-c)］=(c-v)(a-bcv).

因为c-v≥0,且a＞bc²,故a-bcv＞a-bc²＞0.

所以s(+bv)≥s(+bc),当且仅当v=c时等号成立,也即v=c时,全程运输成本y最小.

综上知,为使全程运输成本y最小,当≤c时,行驶速度应为v=;当＞c时,行驶速度应为v=c.