Question

因家庭贫困，小林在大学期间共申请免息助学贷款1.9万元整，银行规定：毕业后开始还贷，并要求在3年内（按36个月算）全部还清．小林因成绩优秀，一毕业即找到工作，工资标准是：前12个月每月工资1000元；第13个月开始每月工资比前一个月增长5%直到月工资为4000元．小林决定：前12个月每月还款200元，第13个月开始每月还款额比前一个月多a元．（精确到0.01元）
（Ⅰ）若小林恰好在第36个月还清贷款，求a的值；
（Ⅱ）若a=50，问小林还清最后一笔贷款时，他的当月工资余额能否满足每月至少800元的基本生活费？（参考数据：1.05¹⁹=2.526，1.05²⁰=2.653，1.05²¹=2.786，1.05²²=2.925）

Answer 1

考点：根据实际问题选择函数类型

专题：应用题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据题意得，到第36个月，小林共还款12×200+（200+a）×24+

24×23a

2

，从而可得a的方程，即可求a的值；
（Ⅱ）设小林工作n个月还清贷款，则12×200+(200+50)(n-12)+

(n-12)(n-13)50

2

≥19000，由此可得结论．

解答： 解：（Ⅰ）根据题意得，到第36个月，小林共还款12×200+（200+a）×24+

24×23a

2

…3分
由12×200+（200+a）×24+

24×23a

2

=19000
解得a=

118

3

=39.33，∴a的值为39.33…6分
（Ⅱ）设小林工作n个月还清贷款，则
12×200+(200+50)(n-12)+

(n-12)(n-13)50

2

≥190008分
化简得n²-15n-628≥0解得n≥

15+ 2737

2

＞33…9分
即小林工作34个月就可以还清贷款，
这个月小林还款额为19000-[12×200+（200+50）（33-12）+

(33-12)(33-12-1)50

2

]=850（元）
小林的当月工资为1050×1.05²¹=1000×1.05²²=1000×2.925=2925（元）
因为2925-850=2075，所以小林还款后能满足基本的生活需求…13分．

点评：本题考查根据实际问题选择函数类型，考查等差数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．