Question

设函数y=f（x）的图象是曲线C₁，曲线C₂与C₁关于直线y=x对称．将曲线C₂向右平移1个单位得到曲线C₃，已知曲线C₃是函数y=log₂x的图象．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）设a_n=nf（x）（n∈N^*），求数列{a_n}的前n项和S_n，并求最小的正实数t，使S_n＜ta_n对任意n∈N^*都成立．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据函数的图象的平移法则可求曲线C₂的图象，由曲线C₂与曲线C₁关于直线y=x对称，即曲线C₂是函数y=log₂（x+1）的反函数可求
（II）由题设：a_n=n×2ⁿ-n，，利用分组求和及错位相减可求S_n，使S_n＜ta_n对任意n∈N^*都成立．即S_n-ta_n＜0恒成立，
解答：解：（I）由题意知，曲线C₃向左平移1个单位得到曲线C₂，∴曲线C₂是函数y=log₂（x+1）的图象．…（2分）
曲线C₂与曲线C₁关于直线y=x对称，∴曲线C₂是函数y=log₂（x+1）的反函数的图象y=log₂（x+1）的反函数为y=2^x-1
∴f（x）=2^x-1…（4分）
（II）由题设：a_n=n×2ⁿ-n，n∈N^*S_n=（1×2¹-1）+（2×2²-2）+（3×2³-3）+…+（n•2ⁿ-n）=（1×2¹+2×2²+3×2
²+…+n×2ⁿ）-（1+2+3+…+n）…（6分）==①
2S_n=（1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹）-n（n+1）②
由②-①得，
，==…（8分）
当=S₁-2a₁=-1＜0，S₂-2a₂=-5＜0，S₃-2a₃=-14＜0
当n≥4时，∴当t=2时，对一切n∈N^*，S_n＜2a_n恒成立．
当0＜t＜2时，=
记，则当n大于比M大的正整数时，
也就证明当t∈（0，2）时，存在正整数n，使得S_n＞ta_n．
也就是说当t∈（0，2）时，S_n≤ta_n不可能对一切n∈N^*都成立．∴t的最小值为2．…（14分）
点评：本题以函数的图象的平移变换为切入点，考查了互为反函数的函数解析式的求解，数列的求和的错位相减求和的应用，解答的难点在于试题的计算及逻辑推理