Question

（2009•青浦区二模）（理）已知数列{a_n}，对于任意的正整数n，an=

1  (1≤n≤2009) -2•( 1 3 )n-2009 (n≥2010)

，设S_n表示数列{a_n}的前n项和．下列关于

lim

n→+∞

Sn的结论，正确的是（　　）

• A．

  lim

  n→+∞

  Sn=-1
• B．

  lim

  n→+∞

  Sn=2008
• C．

  lim

  n→+∞

  Sn=

  2009，(1≤n≤2009) -1．(n≥2010)

  （n∈N*）
• D．以上结论都不对

Answer 1

分析：由an=

1  (1≤n≤2009) -2•( 1 3 )n-2009 (n≥2010)

，知a₁=a₂=a₃=…=a₂₀₀₉=1，a2010=-

2

3

，a2011=-

2

9

，a2012=-

2

27

，…所以Sn=1× 2009+

- 2 3 [1- ( 1 3 )n-2009 ]

1- 1 3

=2008+(

1

3

)n-2009，由此能求出

lim

n→+∞

Sn．

解答：解：∵an=

1  (1≤n≤2009) -2•( 1 3 )n-2009 (n≥2010)

，
∴a₁=a₂=a₃=…=a₂₀₀₉=1，
a2010=-

2

3

，
a2011=-

2

9

，
a2012=-

2

27

，
…
∴Sn=1× 2009+

- 2 3 [1- ( 1 3 )n-2009 ]

1- 1 3

=2008+(

1

3

)n-2009，
∴

lim

n→+∞

Sn=

lim

n→∞

[2008+(

1

3

)n-2009]
=2008．
故选B．

点评：本题考查数列的极限的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，解题的关键是正确求出S_n．